《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社(10)

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

12解之得：]

)

1(

1[2

k

x

x

k

-

-

=

（1）当

00

20

x x

><

或时，1

|

1|

>

-x，∞

=

-

∞

→

k

x

k

2

)

1(

lim，故迭代序列}

{

k

x不收敛；

（2）当

00

20

x x

==

或时，1

|

1|

=

-x，0

lim=

∞

→

k

k

x，迭代序列}

{

k

x收敛，但不收敛于方程的解；

（3）当2

<

<x时，1

|

1|

<

-x，从而0

)

1(

lim2

=

-

∞

→

k

x

k

，1

lim=

∞

→

k

k

x，迭代序列}

{

k

x收敛，且收敛于方程的解。

11．求分别用下列迭代格式求解方程()0

m x

f x x e

==时的收敛阶。

（1）Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-；（2）迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x m

f x

+

=-。

解：显然0

≠

m，否则()0

m x

f x x e

==没意义。

易知Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-收敛于0

=

α，又

（1）

2

11

()(1)

'()

m x

k k k

k k k m m x

k k

f x m x x

x e

x x x

f x mx x e m x

+-

-+

=-=-=

++

m

m

x

m

x

m

x

x

m

x

x

m

x

x

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

1

lim

)1

(

lim

lim

2

1

-

=

+

+

-

=

-

+

+

-

-

=

-

-

∞

→

∞

→

+

∞

→α

α

∴Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-的收敛阶为1

=

p

（2）迭代格式

2

1

()

'()

k k

k k

k k

f x x

x x m

f x m x

+

=-=

+

m

x

m

x

x

m

x

x

x

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

1

lim

)

0(

lim

)

(

lim

2

2

2

1=

+

=

-

+

-

=

-

-

∞

→

∞

→

+

∞

→α

α

∴迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x m

f x

+

=-的收敛阶为2

=

p

12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组

3

3

x

x

-=是否收敛？

若收敛，收敛于哪一个根？

（1）

1.5

x=-（2）

0.5

x=