《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社(14)

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

16其中:

(1)

21

(1)

11

1

(1)

1

(1)

11

10

1

n

a

a

L

a

a

⎛⎫

⎪

⎪

-

⎪

= ⎪

⎪

⎪

⎪

- ⎪

⎝⎭

显然,

1

L非奇异;对任何x 0

≠, 有:

1

L x≠

A正定, ∴()()

1111

()0

T T T

L x A L x x L AL x

=>，∴

11

T

L AL正定;

又:

11

T

L AL=

(1)

11

(2)

a

A

⎛⎫

⎪

⎝⎭

而(1)

11

a>故(2)

A正定;

(1)当A对角占优时, (1)(1)

||||

n

ii ij

i j

a a

≠

≥∑

(2)(2)

||||

n

i i i j

i j

a a

≠

-∑(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

,2

|/||/|

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

≠=

=---

∑

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

(1)

,2

11

1

||||

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

a≠=

⎧⎫

=---

⎨⎬

⎩⎭

∑

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

(1)

,2

11

1

||||(||||)

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

a≠=

⎧⎫

≥--+

⎨⎬

⎩⎭

∑

(1)(1)(1)(1)(1)

1111

(1)

,2,1

11

1

||(||)||

n n

ii ij i j

i j j i j j

a a a a a

a≠=≠=

⎧⎫

=--

⎨⎬

⎩⎭

∑∑

(1)(1)(1)(1)(1)

1111

(1)

,2,1

11

1

||(||)||||

n n

ii ij i j

i j j i j j

a a a a a

a≠=≠=

⎧⎫

=--

⎨⎬

⎩⎭

∑∑

(1)(1)(1)(1)(1)

11111

(1)

,2

11

1

||(||)||||

n

ii ij i

i j j

a a a a a

a≠=

⎧⎫

≥--

⎨⎬

⎩⎭

∑

(1)(1)

11

(1)

,1

11

1

||||

n

ij

i j j

a a

a≠=

⎧⎫

≥-

⎨⎬

⎩⎭

∑0≥

故(2)

A对角占优