《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社(13)

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

15

12

12

1.133 5.281 6.414,

24.14 1.21022.93

x x

x x

+=

⎧

⎨

-=

⎩

解：高斯消元法

() 1.1330 5.2810 6.4140

A|b

24.14 -1.210 22.93

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

=

1.1330 5.2810 6.4140

0 -113.7284 -113.7284

⎛⎫

⎪

⎝⎭(1,1)T

x=

列选主元法

() 1.1330 5.2810 6.4140

A|b

24.14 -1.210 22.93

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

24.14 -1.210 22.93

1.1330 5.2810 6.4140

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

24.1400 -1.2100 22.9300

0 5.3378 5.3378

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

(1,1)T

x=

3.方程组Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=()(1),1n ij i j

a

=

, 变为

(1)

11

(2)

*

a

A

⎛⎫

⎪

⎝⎭

,其中

(2)

A=()(2),2n ij i j

a

=

为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为

(2)

ij

a=(1)

ij

a-(1)(1)

11

i j

a a/(1)

11

a, ,i j=2,3,n.

证明下面结论:（1）当A对称正定时, (2)

A也对称正定;

（2）当A对角占优时, (2)

A也对角占优.

证明:（1）因为A对称,所以(1)(1)

i j ji

a a

=;

(2)

ij

a=(1)

ij

a-(1)(1)

11

i j

a a/(1)

11

a=(1)(1)(1)(1)

1111

/

ji j i

a a a a

-=(2)

ji

a

故(2)

A对称;

A正定, ∴(1)

11

a>，又

(1)

11

(2)

*

a

A

⎛⎫

⎪

⎝⎭

=

1

L A