《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社(9)

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

10

31=k 以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位

7．建立利用方程30x c -=求0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：23

231323)(')(k

k k k k k k k k x c

x x c x x x f x f x x +=--=-=+

令c x x f -=3)(，因为当0>x 时，03)('2>=x x f ，06)(''>=x x f ，

故对于任何满足0)(30>-=c x x f ，

即3

0c x >的初值0x ，上述Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c 。

8．建立利用方程20c

x x -=0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

11解：牛顿迭代格式为：

c

x

cx

x

c

x

c

x

x

x

f

x

f

x

x

k

k

k

k

k

k

k2

3

2

1

)

('

)

(

3

3

2

1+

=

+

-

-

=

-

=

+

令

2

()

c

f x x

x

=-，因为当0

>

x时，0

2

1

)

('

3

>

+

=

x

c

x

f，0

6

)

(''

4

<

-

=

x

c

x

f

故对于任何满足0

)

(3

<

-

=c

x

x

f，

即3

0c

x<

<的初值

x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。

9．判断用Newton

迭代求解方程()(

f x sign x

=

解：由

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

-

-

=

x

x

x

f)

(

)0

(

)0

(

<

>

x

x

，

)(i当0

>

x时，x

x

f=

)

(，0

2

1

)

('>

=

x

x

f，0

4

1

)

(''

3

<

-

=

x

x

f，要使Newton迭代法

收敛对于初值

x，需满足0

)

(

<

=x

x

f，显然这样得初值是不存在的，故当0

>

x时，Newton 迭代法不收敛。

)

(ii当0

<

x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0

<

x时，Newton迭代法也不收敛。

所以用Newton

迭代求解方程()(

f x sign x

=

10．写出求解方程

1

()10

f x

x

=-=的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。

（1）

00

20

x x

><

或；（2）

00

20

x x

==

或；（3）

02

x

<<。

解：牛顿迭代格式为：2

2

1

2

1

1

1

)

('

)

(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

x-

=

-

-

-

=

-

=

+

)

,2,1,0

(

=

k

k

x

x

x

x

x

k

k

k

k

2

2

2

1

)

1(

)

1(

2

1

1-

=

=

-

=

+

-

=

-

+

)

,2,1,0

(

=

k