20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——(16)

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【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，

54412a a =+=， 65618a a =+=。

从而

655

4

32

a a a a =

=

，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈

所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441 (41)

k k =+-+

+⨯

()21,*k k k N =+∈.

由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.

所以数列{}n a 的通项公式为221

,2

,2

n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数

或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。 （III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，2

22k a k =，

以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈

若1m =，则2

2

22n

k k

k

n a =-=∑

，

若2m ≥，则

()

()

()

2

2

222

1

1

2

2

1

1

1

1

221

2214441221n

m

m m

m k k k k k k

k

k k k k

k k k a a a k

k k --=====++++=

+

=

+

+∑

∑

∑

∑

∑

()

()21

1

11441

111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤

⎛⎫=++=+

+-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣

⎦⎣⎦∑∑

()113

12211222

m m n m n

⎛⎫

=+-+

-=-

-

⎪⎝⎭

.