20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——(18)

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第 18 页 共 29 页

（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a

a a

k k -+成等差数列，及,,221

22

a

a

a

k

k k ++成

等比数列，得212112,2221

21

221

k

a

a

k k a

a

a

q k

k k a a q k k k -+=+=

+

=+-+-

当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而

111111,1(2)1

1

11

1

1

1

21

1

k q q q q k k k k q k ==

+-

=≥-------

--即

所以11q k ⎧⎫

⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭

是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而142,

2

q =

=111

q -=1.由（Ⅰ）有

*

1111,,1

k k k k q k N q k

k +=+-==∈-得

所以2

*2

22211221,,2122a a

a

k k k k k k N a

a k a k k k k

+++++=

==∈+（）

从而

因此，

2222*2222(1)222214...........22..

2(1),2212(1)(2)122242

k

a

a

a k k k

k k a a k a a k k k N k k a a a k k k

k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*

m N ∈)

若m=1,则2

2

22n

k k

k

n a =-=∑

.

若m ≥2，则

22221

2

2

1

1

1

221

(2)(21)42n

m

m m

k k k k k

k

k k

k k k a a a k

-====++=

+

=

∑

∑

∑

∑

+

2

21

1

1

1

1

1

441441

111

2222(1)

2(1)2(1)21113122(1)(1)22

2.

m m m k k k k k k k m m k k k k k k k

k m m n m

n ---===⎡⎤+++⎡⎤⎛⎫=++=+

+-

⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝

⎭⎣

⎦

⎣⎦=+-+-

=-

-∑

∑

∑