20【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——(19)

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第 19 页 共 29 页

所以2

2

2

2

3132,22,4,6,8 (2)

2

n

n

k k k

k

k

k

n n n a n

a ==-=

+

<-

<=∑

∑

从而

(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*m N ∈）

2

22

2

22

2

21

(21)31(21)

42

22(1)

n

m

k k k

k

m k

k

m m m a a a m

m m ==+++=

+

=-

-

+

+∑

∑

1131422

2(1)

2

1

m n m n =+

-

=-

-

++

所以2

2

312,2

1

n

k k

k

n a n =-=

+

+∑

从而2

2

322,3,5,72

n

k k k

n n a =<-

<=∑

···

综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *

∈,有

2

2

3222

n

k k

k

n a =<-

≤∑

证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-

2

12221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=

23221

112

22

22

221111k k k k k k k k k k

k

k k

k a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=

=

=+

=+

=+

由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。可得

111

111

1

1

1

k

k k k k q q q q q +-

=

-

=----，

所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

是等差数列，公差为1。

（ii ）证明：因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=，从而312

2a q a =

=，

11

11q =-。于是，由（i ）可知所以11k q ⎧⎫

⎨⎬-⎩⎭

是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得

11

k q -= ()11k k +-=，故1k k q k

+=

。

从而

11k k k d k q d k ++==

。

所以1

21

12

1

1

2.........

.

......

12

1

k k

k k k d d d d k

k k d d d d k k ----=

=

=--，由12d =，可得