高三数列优秀综合题集锦(3)

（2）记cn an bn，求数列{cn}的前n项和Sn

5.设公比大于零的等比数列 an 的前n项和为Sn，且a1 1， S4 5S2，数列 bn 的前n项和为Tn，满足b1 1，Tn n2bn，n N． （Ⅰ）求数列 an 、 bn 的通项公式；

（Ⅱ）设Cn (Sn 1)(nbn )，若数列 Cn 是单调递减数列，求实数 的取值范围． 解：（Ⅰ）由S4 5S2，q 0, 得 q 2,an 2n 1

2

bnn 1 Tn nbn

又 （n 1)， 2

bn 1n 1 Tn 1 (n 1)bn 1

则得

bnbn 1bn 2bn 1n 2n 3212

2

bn 1bn 2bn 3b1n 1nn 143n(n 1)

2

，当n 1时也满足．

n(n 1)

所以bn

n

（Ⅱ）Tn 2n 1，所以Cn 2(

2

)，使数列 Cn 是单调递减数列， n 142n

) 0对n N 都成立， 则Cn 1 Cn 2(

n 2n 1

4242 0 ( )max， 即

n 2n 1n 2n 1422n2

，

n 2n 1(n 1)(n 2)n 3 n

4211 )max ,所以 ． 当n 1或2时，(

n 2n 133

2

6. 已知函数f x x 1 ,g x 4 x 1 ，数列 an 是各项均不为0的等差数列，点 an 1,S2n 1 在函数f x 的图象上；数列 bn 满足b1 2,bn 1，且 bn bn 1 g bn fbnn N . （I）求an并证明数列 bn 1 是等比数列； （II）若数列 cn 满足cn

an

，证明：c1 c2 c3 cn＜3. n 1

4 bn 17. 已知数列 an ,a1 1,an an 1 2. n 2

1．当 为何值时，数列 an 可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式 2．若 3,令bn 2n(an ),求数列 bn 的前n项和

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