高三数列优秀综合题集锦(4)

解：I．

a2 a1 2 2 2

a3 a2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a3 2a2, 1 2 2 2 2 2 2

得2 5 3 1或

2

32

33

当 时，a2 2 1 1，a1 a2不合题意舍去

22

1时，带入an an 1 2可得:an an 1 1

数列 an 构成以a1 1为首项，公差为 1的等差数列， an n 2

由 3可得，an 3an 1 3 2; an 3an 1 1

1311

3an 1 an 3 an 1 2222

13

即bn 3bn 1 n 2 ,又b1 a1

22

3

数列 bn 构成以b1 为首项，公比为3的等比数列

2

31

Ⅱ． bn 3n 1 3n

223

1 3n 3

Sn 3n 1 1 34

若由 1时，直接得：an an 1 1 2 an 1 1；即n 2时，an an 1 1恒成立，

an

数列数列 an 构成以a1 1为首项，公差为1的等差数列；则an 1 1 n 1 n 2,该解法不严谨本小题扣2分

8. 在数列 an 中,a1 1, 且对任意的k N,a2k 1,a2k,a2k 1成等比数列, 其公比为qk.

*

(1) 若qk 2(k N*), 求a1 a3 a5 a2k 1；

(2) 若对任意的k N,a2k,a2k 1,a2k 2成等差数列, 其公差为dk, 设bk ① 求证: bk 成等差数列, 并指出其公差； ② 若d1 2, 试求数列 dk 的前k项和Dk. 解: (1)因为qk 2,所以

*

1

. qk 1

a2k 1

4,故a1,a3,a5, ,a2k 1是首项为1,公比为4的等比数列, a2k 1

1 4k1k

(4 1) 所以a1 a3 a5 a2k 1

1 43

(2)①因为a2k,a2k 1,a2k 2成等差数列,所以2a2k 1 a2k a2k 2,

aq 11

qk 1 2,则qk 1 1 k而a2k 2k 1,a2k 2 a2k 1 qk 1,所以

qkqkqk