高三数列优秀综合题集锦(5)

得

1qk 1 1

所以 bk 是等差数列,且公差为1

qk111

1,所以 1,即bk 1 bk 1, qk 1qk 1qk 1 1qk 1

2

②因为d1 2,所以a3 a2 2,则由a2 1 a3 a2 2,解得a2 2或a2 1

(ⅰ)当a2 2时, q1 2,所以b1 1,则bk 1 (k 1) 1 k,即

k 11

,所以 k,得qk kqk 1

a2k 1a2k 1a3a2k 1(k 1)2(k 1)2k222

,则a2k 1 a1 2 1 (k 1)2 222

a2k 1a2k 3a1k(k 1)1a2k 1ka2k 1(k 1)2k(k 3)

k(k 1),则dk a2k 1 a2k k 1,故Dk 所以a2k

k 12qk

k

11313

(ⅱ)当a2 1时, q1 1,所以b1 ,则bk (k 1) 1 k ,即 k ,

222qk 12

1123212

(k )(k )()a2k 1a2k 1a31得qk ,所以a2k 1 a1 1 4(k 2,

a2k 1a2k 3a12k (k )2(k )2( 22222a

则a2k 2k 1 (2k 1)(2k 3),所以dk a2k 1 a2k 4k 2,从而Dk 2k2.

qk

k(k 3)

综上所述,Dk 或Dk 2k2

2

k

9.已知数列

a 的前n项和S

n

n满足

an 1a 1

(a>0，且a 1)。数列 bn 满足bn an lgan

Sna

（1）求数列

a 的通项。

n

（2）若对一切n N 都有bn bn 1，求a的取值范围。 解：（1）由题意可知当n 1时，a1 a 当n 2时，Sn Sn 1 用（1）式减去（2）式得：

a

(an 1) （1） a 1a (an 1 1)（2） a 1

an

a an 1

所以数列 an 是等比数列 所以an an(n N ） （2）因为bn an lgan所以bn n.an.lga

当对一切n N 都有bn bn 1 即有n.a.lga (n 1).a

n

n 1

.lga