西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案(10)

西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案

3设 x,y R，f x 满足方程f x y f x f y ，且f x 在x 0处连续，证

f x 处处连续。

证明 由 f 0 0 f 0 f 0 ，可得f 0 0，又f x 在x 0处连续，故

limf x f 0 0

x 0

f x f x 对 x R，limf x x lim x 0 x 0

limf x limf x f x 0 f x

x 0

x 0

故f x 处处连续。

nn 1

4 证明（1）x x

x 1在 0,1 内至少有一个根 n 2 。

证明 令f(x) xn xn 1

x 1，显然f(x)在 0,1 上连续，且 f(0)f(1) n 1 0，

由零点定理可知 0,1 ，使得f( ) 0，即方程在 0,1 内至少有一个根 （2）x sinx k k 0 至少有一个正根

证明 令f(x) x sinx k，显然f(x)在 0,k 2 上连续，且

f(0)f(1) k 2 sin k 2 0

由零点定理可知 0,k 2 ，使得f( ) 0，即方程至少有一个正根

（3）f x 在 a,b 上连续，且f a a， f b b，则方程f x x在 a,b 内有一个根。

证明 令g(x) f x x，显然g(x)在在 a,b 上连续，且

g(a)g(b) f a a f b b 0

由零点定理可知 a,b ，使得f( ) 0，即方程f x x在 a,b 内有一个根。

32

（4）证明x x 4x 1 0三个根都是实根。

32

证明 令f(x) x x 4x 1，f(x)在实数轴连续，且

f( 3) 29,f( 2) 5,f(1) 1,f(3) 25