西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案(14)

西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案

又lim

x 0

1 ax

124

1

sinx

a x21

aa24 lim （因为 1 ax 1 x2，sin2x

x 0x44

12

x,ln(1 x)2

x2）

a 4

x2xln(1 x)

lim 2（因为1 cosx9：lim

x 01 cosxx 02

x2

x）

二计算题

xn 1 x1 10，xn 1 ，证明数列 x

n 的极限存在，并求limn

证明：10 x1 x2，设xn xn

1

故xn 1xn，即 xn 是单调递减的。显然 xn 有下界0，

xn

a,由极限保号性知道a 0。 故数列 xn 的极限存在，不妨设lim

n

由xn 1

a a 3

1

x2 esinx 2：求limx 0 x x1 e

解：注意到lime ，lime 0，故有

x 0

x 0

1

x1x

111

xx2 esinx 2 esinx 2 exsinx lim lim lim lim444 x 0 x 0 x 0 x 0 xxxxx

1 ex 1 e 1 e

2 lim

x 0

4

x

1

3x

1 0 0 1 1 0 1 14ex

111

xxx

2 e sinx lim 2 e sinx lim2 e limsinx lim x 0 x 0 x 0 x 0 xxxxxx

1 e1 e1 e

2 0

1 1 1 0

11

xx

2 esinx2 esinx 1 lim 故lim 44

x 0 x x x 0 xx

1 e1 e