西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案(5)

西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案

1 x x2 1 sin x 1 cos x tan x sin x 1 lim lim lim lim 23 x 0 x 0 x 0 cos x x 0 x3 x3 cos x x 2以下做法是错误的

limx 0

tan x tan x sin x sin x lim 3 lim 3 3 x 0 x x 0 x x x x x x lim 3 lim 3 lim 3 0 x 0 x x 0 x x 0 x

批注[U11]:错误步骤 limx 0

tan x与 x3

limx 0

(4) lim(1 x) tanx 1

sin x不存在，故不能分开。 x3

2

x

批注[U12]:

limx 0

解令 u 1 x,则 lim(1 x) tanx 1

2

x lim u tanu 0

2

1 u lim u cot u 0

2

x x3

不存在，故不能

u

求和。

u cos u 2 2 2 lim 2 limcos u lim u u 0 u 0 sin u u 0 2 sin u 2 2(5) lim 1

x

1 x

kx

kx 1 x 1 解法一 lim 1 lim 1 x x x x

k

e k 1

lim kx ln 1 kx ln 1 1 1 1 x x 法二 lim 1 lim e x e,由 ln(1 ) ,可得 x x x x x

kx

1

lim kx 1 lim 1 e x x e k x

x

kx

1

(6) lim

x 2 x x 1

x

1 1 x 1 1 x 2 解法一 lim lim 1 lim x x 1 x x 1 x 1 1 x 1x x

x 1

e

lim x ln 1 x ln 1 x 2 x 1 e x x 1 ,由 ln(1 )法二 lim lim e x x 1 x x 1

x

x 2

1

1可得 x 1

x 2 x 1 lim e e x x 1 xx

西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案

（７）x 0

解 法一

x

x

2sin2

x

x x

2

lim sinx 2

x 0 lim x 0 2 x 12

法二x

x ， 由1 cosx

1x

2

,1 122

2

，可得

x 0

x 12 limx

1

x 0x 2

x 2

2

）

xlim

解 lim

xlim

x

xlim

1

5 证明 与 为等价无穷小充要条件是 o

证明 与 为等价无穷小 lim

1 1 ，其中lim 0，即 ，其中lim 0；注意到lim

lim 0，即 o ，所以

与 为等价无穷小 o

（８