2018年四川省成都实验外国语学校直升生自主招生(11)

【解答】（1）证明：设P（m，n），由题意mn＝，

∴S矩形OMPN＝mn＝＝定值．

（2）证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C，

则△AOB，△FCA，△DBE为等腰直角三角形，

设P（x0，y0），则FC＝y0，DE＝x0，AF＝y0，BE＝x0，

∴AF•BE＝y0•x0＝2x0y0，

又y0＝，

即2x0y0＝1，

∴AF•BE＝1；

（3）解：平行于AB的直线l的解析式为y＝﹣x+b，设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为（x，y），联立，得2x2﹣2bx+1＝0，

由△＝4b2﹣8＝0，得b＝（﹣舍去），

∴x＝，y＝，

即Q点的坐标为（，），连接OQ交AB于T．

由题意直线OQ的解析式为y＝x，

由，

解得，

∴T（，），

∴OQ＝1，OT＝，

∴TQ＝1﹣，

∴动点P到直线AB的最短距离为1﹣．

28．（12分）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3．

（1）求证：AF＝DF；

（2）求∠AED的余弦值；

（3）如果BD＝10，求△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠DAC

∵∠B＝∠CAE

∴∠BAD+∠B＝∠DAC+∠CAE

∵∠ADE＝∠BAD+∠B

∴∠ADE＝∠DAE

∴EA＝ED

∵DE是半圆C的直径

∴∠DFE＝90°