【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔(11)

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第三部分

1. 高等代数基本定理

设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果 f(x) a0xn a1xn 1 ...... an K[x],(a0 0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。

命题 设f(x) a0xn a1xn 1 ...... an,(a0 0，n 1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为a0的n 1次多项式q(x)，使得

f(x) q(x)(x a) f(a)

证明 对n作数学归纳法。

推论 x0为f(x)的零点，当且仅当(x x0)为f(x)的因式（其中degf(x) 1）。 命题（高等代数基本定理的等价命题） 设f(x) a0xn a1xn 1 ...... an

(a0 0，n 1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使

f(x) a0(x 1)(x 2)......(x n)

证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。

2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式

a0xn a1xn 1 ...... an 1x an 0 （1） （其中a0,a1,......,an K,a0 0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x K带入（1）式后使它变成等式，则称 为方程（1）在K中的一个根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n( 1)次代数方程在复数域C内必有一个根。

命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。

命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

f(x) a0 a1x ...... anxng(x) b0 b1x ...... bmxm

(an 0)， (bm 0)，