【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔(6)

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如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。

曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的

平行移动。

基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

二、讲授纲要

第一章 三维欧氏空间的曲线论

§1 曲线 曲线的切向量 弧长

教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲

线。

§2 主法向量与从法向量 曲率与扰率

教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概

念，会计算曲率与挠率。

§3 Frenet标架 Frenet公式

教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。 §4 曲线在一点邻近的性质

教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。 §5 曲线论基本定理

教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。 §6 平面曲线的一些整体性质

6．1 关于闭曲线的一些概念 6．2 切线的旋转指标定理 6．3 凸曲线* 6．4 等周不等式* 6．5 四顶点定理*

6．6 Cauchy-Crofton公式*

教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲