【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔(12)

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如果存在整整数l,l m,l n,及l 1个不同的复数 1, 2,......, l, l 1，使得

f( i) g( i)(i 1,2,......,l 1)，

则f(x) g(x)。

1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设f(x) a0xn a1xn 1 an，其中ai K,a0 0。设f(x) ，则 1, 2, , n（可能有重复）

n

1

f(x) (x i) (x 1)(x 2) (x n)a0i 1

0的复根为

xn ( 1 2 n)xn 1 1 2 n.

所以

a1

( 1)1( 1 2 n)； a0

a2

( 1)2 i1 i2； a00 i1 i2 n

an

( 1)n 1 2 n. a0

我们记

0( 1, 2, , n) 1；

1( 1, 2, , n) 1 2 n；

r( 1, 2, , n)

i1i2

0 i1 i2 ir n

i；

r

n( 1, 2, , n) 1 2 n

（ 1, 2, , n称为 1, 2, , n的初等对称多项式）。于是有

定理2.5 (韦达定理) 设f(x) a0x a1x的复根为 1, 2, , n。则

n

n 1

) 0其中ai K,a0 0。设f(x an，