数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解(8)

8 找到引用源。=(-2,0,1).

设平面BB 1D 1D 的一个法向量n =(x,y,z),

由错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。∴可取n =(1,-1,0).

cos<n ,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为错误！未找到引用源。.

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）不等式220x x +-<的解集为 .

【解析】{|21}x x -<<. 22(1)(2)0x x x x +-=-+<，解得21x -<<

（14）设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩

，则2z x y =-的最大值为______。 【解析】3 画出可行域如图所示，

当目标函数y x z -=2过点)3,3(A 时，取得最大值，3332max =-⨯=Z

（15）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =

【解析】64， 因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22

= 因为0d ≠,所以2=d ,故.64568278818=+=⨯+

=d a S （16）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心

9

三.解答题：

17.（10分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x 为何值时，花园面积最大并求出最大面积

【解析】设矩形高为y , 由三角形相似得:

40,40,0,0,40

4040<<>>-=y x y x y x 且 400

20,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=⇒.

19.（12分）已知2:10p x mx ++=有两个不等的负根，2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围.

【解析】见世纪金榜课本相关页

19.（12分）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知a=bcosC+csinB .

(1)求B. (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB ,因为sinC ≠0,

所以tanB=1,解得B=错误！未找到引用源。

(2)由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2accos 错误！未找到引用源。,即4=a 2+c 2

-错误！未找到引用源。ac,由不等式得a 2+c 2≥2ac,当且仅当a=c 时,取等号,所以4≥(2-错误！未找到引用源。)ac,解得ac ≤4+2错误！未找到引用源。,所以△ABC 的面积为错误！未找到引用源。acsin 错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。×(4+2错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+1.所以△ABC 面积的最大值为错误！未找到引用源。+1.

20.（12分）如图, 在直三棱柱111A B C - ABC 中, AB ⊥AC, AB = AC=2,1A A = 4, 点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值;

(2)求平面1ADC 与平面 AB 1A 所成二面角的正弦值.

【解析】(1)以A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,

0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0),1A (0, 0, 4), 1C (0, 2, 4), 所以1A B =(2, 0, -4), 1C D =(1, -1, -4).因为

10 111111cos ,||||A B C D A B C D A B C D ⋅<>=== 所以异面直线1A B 与1C D

所成角的余弦值成角的余弦值为10

(2)设平面1ADC 的法向量为1n = (x, y, z), 因为AD =(1, 1, 0), 1AC =(0, 2, 4), 所以1n ·AD =0,

1n ·1AC =0，即x+y=0 且y+2z =0, 取z =1, 得x =2,y=-2, 所以, 1n =(2, -2, 1)是平面1ADC 的一个

法向量.取平面A 1A B 的一个法向量为2n =(0, 1, 0), 设平面1ADC 与与平面 AB 1A 所成二面角的大小为

θ.由|cos θ

|=121223

||||n n n n ⋅=== 得 sin θ

=3 因此, 平面1ADC 与平面 AB 1A

所成二面角的正弦值为3

21.（12分）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ∙=-11，∈n N *

（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。

【解析】（Ⅰ）令1=n ，得21112a a a =-，因为01≠a ，所以11=a ， 令2=n ，得222112a s a +==-，解得22=a 。当2≥n 时，由n n s a =-12 1112--=-n n s a ，两式相减，整理得12-=n n a a ，于是数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以，12-=n n a 。

(Ⅱ)由(I )知12-=n n n na ，记其前n 项和为n T ，于是

12223221-⨯++⨯+⨯+=n n n T ① n n n T 2232221232⨯++⨯+⨯+⨯= ②

① -②得 n n n n n n n T 2122222112⨯--=⨯-++++=-- 从而1(1)2n

n T n =+-