数学分析知识点总结定积分(10)

1.4 函数的极限

0x 点的η领域：00000(,)(,){|||},,,0U x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈-<∈> 0x 点的去心η领域：

000000(,)(,)\{|0||},,,0U x x x x x R x x x R ηηηηηη=-+=∈<-<∈>

+∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H +∞=+∞=∈>∈>

-∞的去心H 领域：(,)(,){|},,0U H H x R x H H R H -∞=-∞-=∈<-∈>

统一叙述：对于a R ∈，我们用()U a 表示a 的某个去心邻域，当a 为有穷实数时，()U a 的形式为(,)U a η，当a =±∞时，()U a 的形式为(,)U H ±∞。

函数极限的序列式定义：设,a A R ∈（a 和A 都可以是有穷实数或者±∞），并设函数()f x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义。如果对于任何满足条件n x a →的序列{}()n x U a ⊂，相应的函数值序列{()}f x 都以A 为极限，那么我们说当x a →时，函数()f x 的极限为A ，记为

lim ()x a

f x A →= 简单例子如：l i m s i n s i n x a x a →=；lim cos cos x a x a →=；lim ||||x a x a →=；lim x a

x a →=；01lim sin 0x x x →=，因为1|sin |||x x x ≤；0lim 1sin x x x →=，因为cos 1sin x x x <<；sin lim 0x x x →∞=，因为sin 1|

|||

x x x ≤。 定理1：函数极限lim ()x a

f x →是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设()f x ，()

g x 和()

h x 在a 的某个去心邻域()U a 上有定义，并且满足不等式

()()(),()f x g x h x x U a ≤≤∀∈

如果

lim ()lim ()x a x a f x h x A →→==