数学分析知识点总结定积分(12)

1.5单侧极限

定义（序列方式）：设R A R a ∈∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意满足条件a x n →的序列),(}{a a x n η-⊂，相应的函数值序列)}({n x f 都以A 为极限，那么我们就说：-→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为

A x f a x =-→)(lim

定义（δε-方式）：设R A a ∈,，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>ε，存在0>δ，使得只要

a x a <<-δ

就有

ε<-|)(|A x f

那么我们就说：-→a x 时函数)(x f 的极限为A ，记为

A x f a x =-→)(lim

定义（δε-方式，特殊的+∞=∉A R A ,）：设R a ∈，并设函数)(x f 在),(a a η-有定义。如果对任意0>E ，存在0>δ，使得只要

a x a <<-δ

就有

E x f >)(

那么我们就说：-→a x 时函数)(x f 的极限为∞+，记为

+∞=-→)(lim x f a x

可用类似的方式来定义+→a x 的极限。

定理1：设R a ∈，并设函数)(x f 在a 点的去心邻域),(ηa U 上有定义。则极限)(lim x f a x →存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：

A x f x f a

x a x ==+-→→)(lim )(lim 当这条件满足时，我们有

A x f a

x =→)(lim 单调函数定义：设函数f 在集合R S ⊂上有定义。