数学分析知识点总结定积分(16)

或者

000()()()f x f x f x -+=≠

情形II （第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。 注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果)(x f 在0x 点单侧极限存在，并且此极限值等于)(x f 在0x 点的函数值0()f x ，那么就说)(x f 在0x 点单侧连续。

简单的例子，例如函数

sin ,0()0,

0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (0)(0)(0)f f f -+=≠，0为第一类间断点。如果改成

sin ,0()1,

0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (0)(0)(0)1f f f -+===，则0是连续点。 例如函数

1sin ,0()0,

0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 左右侧不连续，故0是第二类间断点。

狄里克莱（Dirichlet ）函数

1,()0,

x D x x ⎧=⎨⎩如果是有理数如果是无理数

任何x R ∈都是函数D 的第二类间断点。

黎曼（Riemann ）函数 1,,0()0,

q x p q q R x x >⎧=⎨⎩如果是既约分数如果是无理数 所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。