数学分析知识点总结定积分(21)

1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限

无穷小量定义：设函数()x α在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，如果

lim ()0x a

x α→= 那么我们就说()x α是x a →时的无穷小量。

无穷大量定义：设函数()A x 在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，如果

lim ()0x a

A x →= 那么我们就说()A x 是x a →时的无穷大量。

定义3：设函数()x ϕ和()x ψ在a 点的某个去心邻域()U a 上有定义，并设在()U a 上()0x ϕ≠。我们分别用记号O ，o 与表示比值()()

x x ψϕ在a 点邻近的几种状况： （1）()(())x O x ψϕ=表示()()x x ψϕ是x a →时的有界变量，即()lim ()

x a x x ψϕ→有界。 （2）()(())x o x ψϕ=表示()()

x x ψϕ是x a →时的无穷小量，即()lim 0()x a x x ψϕ→=。我们可以说()x ψ是比()x ϕ更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大）。

（3）()()x x ψϕ表示

()lim

1()x a x x ψϕ→= 注意：O ，o 与

都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号x a →

例如： sin ()

()x o x x =→∞ sin (0)x

x

x → 特别的：记号 ()(1)x O ψ=

表示()x ψ在a 点的某个去心邻域上有界；而记号