湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷(6)

湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷(一)含解析

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2－2x1x28＋（y1＋y2）2－2y1y24＝2. ∵x1x28＋y1y24＝0，∴（2x）28＋（2y）24＝2，即Q点的轨迹E的方程为x24＋y22＝1.9分联立x24＋y22＝1，y＝x＋1，得3x2＋4x－2＝0. 设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则x3＋x4＝－43，x3•x4＝－23.10分故|MN|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2（x3＋x4）2－4x3x4＝453.12分第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．(本题满分12分) 已知函数f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a为实常数． (1)求g(x)的单调区间； (2)当a＝－1时，证明：��x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．【解析】(1)g′(x)＝3ax2＋2，1分当a≥0时，g′(x)>0故g(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).3分当a<0时，令g′(x)≥0得－－23a≤x≤－23a，g(x)的单调增区间为－－23a，－23a， g(x)的单调减区间为－∞，－－23a，－23a，＋∞.5分 (2)当a＝－1时，f′(x)＝ex－e－x，g′(x)＝2－3x2，��x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．即��x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)，且f(x0)≠g(x0)，6分令h(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex－e－x－2＋3x2， h(0)＝－2<0，h(1)＝e－1e－2＋3>0，∴��x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0).7分∵当x∈0，63时g′(x)>0，当x∈(63，1)时g′(x)<0，∴所以g(x)在区间(0，1)的最大值为g63，g63＝469<2.9分而f(x)＝ex＋e－x≥2exe－x＝2，10分∴x∈(0，1)时f(x)>g(x)恒成立，∴f(x0)≠g(x0)．从而当a＝－1时，��x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行． 12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为x＝3cos α＋sin αy＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程ρsinθ＋π4＝22t(t为参数)． (1)求曲线M 和N的直角坐标方程； (2)若曲线N和曲线M有公共点，求t的取值范围．【解析】(1)由x＝3cos α＋sin α＝2sinα＋π3得x∈[－2，2]，又∵x2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α