基于密度泛函微扰理论的砷化镓电光张量研究(11)

南京航空航天大学硕士学位论文(1) 定理一： 外场是电子密度的唯一函数。 因而哈密尔顿量和所有基态特性都被电子密度所确定。 多体哈密尔顿量 H 确定系统的基态，如：它确定基态波函数，上面的定理 保证波函数也是基态密度的唯一函数。同理，动能和电子-电子相互作用能也是密 度 n(r ) 的函数。我们定义一泛函 F [n(r )] ：F [n(r )] = ψ (T + Vee ) ψ与外场无关的一个通用函数。 运用此函数我们定义在给定外场 v(r ) 情况下的能量函数： E[n(r )] = ∫ drn(r )v(r ) + F [n(r )](2.10)其中 T 是动能算符， Vee 是电子-电子相互作用算符。函数 F 是与电荷密度相关而(2.11)其中泛函 F [n(r )] 是电荷密度的未知函数。我们可以根据基态多体波函数写出系统 的能量： E[n(r )] = ψ H ψ (2.12) 其哈密尔顿量为：H = F +V V 为对应外场的算符， F 为电子的哈密尔顿量： F = T + Vee(2.13) (2.14)证明：反证法。假设有两个势 v1 (r ) 和 v2 (r ) 它们相差的不仅是一个常数，显然 它们导致不同的波函数ψ 1 (r ) 和ψ 2 (r ) 。现在假定它们拥有相同的基态密度 n(r ) 。 根据变分原理： E1 ≤ ψ 2 H1 ψ 2 = ψ 2 H 2 ψ 2 + ψ 2 H1 H 2 ψ 2= E2 + ∫ n(r )[v1 (r ) v2 (r )]dr交换 1 和 2 得出相近的表述相加两个不等式得到矛盾： E1 + E2 ≤ E1 + E2 定理一得证。(2.15) (2.16)(2) 定理二：在粒子数不变条件下能量泛函对密度函数的变分就得到系统的基态能量 EG [ ρ ] 。 证明：对于给定 v(r ) ，能量 泛函 E (n) 定义为：E (n) ≡ ∫ drv(r )n(r ) + ψ T + Vee ψ由前面的定义：一未知与外场无关的泛函 F [n] ：(2.17) (2.10)F [n] ≡ ψ T + Vee ψ它与能量泛函之差仅在于少了一项外场贡献。根据变分原理，粒子数不变时，任 意波函数ψ ' 的能量泛函 EG [ψ ' ] ：EG [ψ ' ] ≡ ψ ' v ψ ' + ψ ' T + Vee ψ '(2.18)ψ ' 为基态 ψ 时能量泛函取极小值。令任意ψ ' 是与 v ' (r ) 相联系的基态；而ψ ' 和v ' (r ) 依赖于系统的密度函数 n' (r ) ， 那么 EG [ψ ' ] 必是 n' (r ) 的泛函。 依照变分原理有：5