2020-2021石景山区高三数学期末试题及答案(11)

高三数学试题第11页（共15页） 所以 =4a .

（Ⅱ）由（I

）可知，b ==因为4a =，2c =，

所以222a b c =+.

所以=90A ︒.

因此，ABC △是直角三角形.

所以11222

S bc ==⨯= 选择条件②：45A =︒.

解：（Ⅰ）在ABC △中，

因为 45A =︒,30C =︒,=2c . 根据正弦定理：sin sin a c A C

= ，

所以2sin 2sin 452=1sin sin 302

c A a C ︒===︒

（Ⅱ）在ABC △中，

因为sin sin()B A C =+.

所以sin sin(3045)=sin30cos45cos30sin 45B =︒+︒︒︒+︒

︒所以1sin 2S ac B

=1=22⨯. 选择条件③：不给分

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为

0.005+0.0200.0400.020)101a +++⨯=（， 所以 0.015a =. （Ⅱ）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

0333361(0)20C C P X C ⋅=== ； 1233369(1)20

C C P X C ⋅===； 2133369(2)20C C P X C ⋅===； 3033361(3)20C C P X C ⋅===. 所以随机变量X 的分布列为：

高三数学试题第12页（共15页）

（Ⅲ）设事件=A “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”.

因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人. 由频率分布直方图可知，

女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.02010=24⨯⨯人.

由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人,

24161

2005

+=. 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为1()5

P A =

.

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由已知1b =

，c e a ==

， 又222a b c =+，解得2,1a b ==.

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

（Ⅱ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y .

联立2

24(4),1,y k x y x +=⎧⎪

⎨⎪=+⎩

消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，

则216(112)0k ∆=->

，解得k <<

. （*） 则21223241k x x k -+=+，2122644

41

k x x k -=+.

若11x =-

，则1y =

k =与（*）式矛盾，所以11x ≠-.

同理21x ≠-.

所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k .

因为1212121212(4)(4)332111111

AM AN

y y k x k x k k

k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++

高三数学试题第13页（共15页） 121212121222222222

3(2)3(2)22(1)(1)1

323(2)3(242)142206443236311414k x x k x x k k x x x x x x k k k k k k k k k k k k ++++=+=++++++-+-++=+=+=---++++ 所以AM AN k k =-.

所以BAM ∠=OAN ∠. （20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）当0a =时，1(),0f x x x =>，21()f x x

'=-， 设()f x 图象上任意一点00

1(,)P x x ， 切线l 斜率为0201()k f x x '==-

. 过点001(,)P x x 的切线方程为0200

11()y x x x x -=--. 令0x =，解得0

2y x =；令0y =，解得02x x =. 切线与坐标轴围成的三角形面积为0012|||2|22S x x =

⋅=. 所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞.

因为()g x 在(0,)+∞上单调递减，

所以21()10a g x x x

'=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即当(0,)x ∈+∞，1a x x

+≤恒成立， 所以min 1)a x x

+≤( 因为当(0,)x ∈+∞，12x x

+≥，当且仅当1x =时取等号. 所以当1x =时，min 1)2x x

+=( 所以2a ≤.

所以a 的取值范围为(,2]-∞.