哈工大版线性代数与空间解析几何课后题答案(15)

nn

1111

a1a2 an ai(1 等式右端. (1 a1a2ani 1aii 1x yxy0 001x yxy 0001x y 00xn 1 yn 1

(4) Dn ，其中x y.

x y000 x yxy000 1x y

x2 y2

，等式成立. 证：当n 1时，D1 x y

x y

假设n k时等式成立，当n k 1时，若k 1 2，则

x3 y3

Dk 1 D2 x xy y ，等式成立. 若k 1 3，将Dk 1按一列展开，得

x yx yxy0 001x yxy 00

Dk 1 (x y)( 1)1 10 1x y 00

1x yk阶000

2

2

xy1

( 1)2 10

0

0x y1 0

0xy 0

0 0

000

x y 0

1x yk阶

xk 1 yk 1xk ykx(k 1) 1 y(k 1) 1

(x y)Dk xyDk 1 (x y) xy

x yx yx y

由归纳法原理，等式对一切自然数n都成立.

14．设f(x)是一个次数不大于n 1的一元多项式，证明如果存在n个互不相同的数

a1,a2, ,an使f(ai) 0,i 1,2, ,n. 则f(x) 0.

证：设f(x) kn 1xn 1 kn 2xn 2 k1x k0，依题意有

k0 a1k1 a1n 1kn 1 0

（1）

k ak an 1k 0

nn 1 0n1

因a1,a2, ,an互不相同，故(1)的系数行列式

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