第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系(10)

∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C， ∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B， ∴OC⊥平面ABO.

又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.

2

在Rt△AOC中，OC＝AC＝2，

2

OC1

sin∠OAC，

AC2

∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°. 答案：30°

9. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，

E是PC

的中点．

(1)求证AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．

解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α. ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面α即为平面ABE， ∴P∈平面ABE，

这与P 平面ABE矛盾， 所以AE与PB是异面直线． (2) 取BC的中点F， 连接EF、AF， 则EF∥PB，

所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角． ∵∠BAC＝60°，

PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， ∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，

AE2＋EF2－AF2

cos∠AEF2·AE·EF

2＋2－31＝＝ 2224

1

所以异面直线AE和PB.

4

10. 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠

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BAD＝∠FAB＝90°，BC綊，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

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