第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系(3)

(1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． [证明] (1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1， 又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1，

∴E、C、D1、F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．

[规律方法] (1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．

(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．

1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别

在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD.

BGDH1

在△BCD，

GCHC2

∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面．

(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．