第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系(6)

π5π D. 312(2)(2015·广州调研)在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )

ππ 64ππ 32

(3) 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝2，则异面直线AD和BC所成的角为________．

解析：(1)由题意可知，只有点A到A1距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，

π

异面直线AA1，BC1

4

(2)设AC∩BD＝O，连接VO(图略)，因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面

ABCD，故BD⊥VO，又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所

π

以BD⊥VA，即异面直线VA与BDD.

2

(3)如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.

1

因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝1，FG∥AD，

2

1

且FG＝＝1.则∠EGF即为所求，又EF＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.

2

答案：(1)B (2)D (3)90°

方法思想——判断空间线面位置关系(构造法)

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

[解析] 法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．