高墩大跨连续刚构桥稳定性研究(21)

高墩大跨连续刚构桥稳定性研究

就描述变形体运动而言，根据坐标的不同选取法可以分为欧拉描述（Ｅｕｌｅｒｉａｎ）和拉格朗日描述（Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ）。欧拉描述的积分域是欲求解结果，在方便性上不如拉格朗日描述。故在后来的几何非线性发展中，大多数人用的是拉格朗日描述。

拉格朗日方法可以分为两种，一种是以未变形时的物体构形，ｏ为参照构形，称之为总体拉格朗日列式法（ＴｏｔａｌＬａｇｒａｎｇｉａｎＦｏ瑚ｕｌａｔｉｏｎ），简称为Ｔ．Ｌ；一种是参照最后一个已知平衡构形，即ｆ时刻的构形，由于，‘随计算而变化，其构形与坐标值也是变化的，所以称更改的拉格朗日列式法（ｕｐｄａｔｅｄ

Ｆｏｒ叫１ａｔｉｏｎ），简称ｕ．Ｌ列式法。下面具体介绍一下拉格朗日方法。

（１）总体拉格朗日列式法Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

采用总体拉格朗日列式法（Ｔ．Ｌ法）时，单元局部坐标系始终固定在结构变形之前的位置，单元局部坐标系与结构坐标系之间的转换关系可始终保持不变。此时按照线性理论推导的单元刚度矩阵已不再适用，而需要推导在大位移情况下按原单元局部坐标系所定义的杆端力与杆端位移之间的关系，即大位移情况下的单元刚度矩阵。不难想象，此时的单元及结构刚度矩阵本身应是节点位移的函数。

一般来说在求解非线性问题时，可以把原属于非线性的荷载一位移关系看作是一连串线性反应的组合。于是，就希望求得杆端力增量与杆端位移增量之间的关系。这种关系可以通过单元的切线刚度矩阵表达。由单元的切线刚度矩阵可以组装得到整个结构的切线刚度矩阵。单元和结构的切线刚度矩阵仍然是节点位移的函数。

以下是总体拉格朗日列式法（Ｔ．Ｌ法）的基本理论和有关公式。’

无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理是成立的。按照虚功原理，若结构处于平衡状态时发生某种虚位移，则外力因虚位移所作的功等于结构因虚应变所产生的内力虚功。以下对此进行更一般的讨论。

如果单元仅受杆端力荷载，单元的虚功方程可以写成以下形式：

ｊｄ斜｛盯）西一ｄ｛万｝１｛，｝＝ｏ

应变。（２．１８）式中，｛厂｝代表单元杆端力向量；ｄ｛Ｊ｝为杆端虚位移向量；ｄ｛Ｆ｝为单元的虚

用应变增量形式表示位移与应变的关系：

ｄ｛ｓ｝《面］ｄ｛Ｊ｝

将式（２．１９）代入式（２．１８），消去ｄ｛Ｊ）７，可得单元的平衡微分方程：（２．１９）

』［玎㈤咖一｛，）＝ｏ

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