2013年长春市高中毕业班第一次调研测试理科数学(8)

2 m 1 0, 2解得m 1， (11分) 9m 6m 15 0,

在y轴上存在定点M(0,1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点. (12分)

21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：由题意得：

f (x) (ex) (ax2 2x 2) ex (ax2 2x 2)

2

ex(ax2 2x 2) ex(2ax 2) aex(x )(x 2)； (2分)

a

(1) 由曲线y f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得

22a 2

0，解得a 1； (4分) f (2) 0，即a e2 (2 )(2 2) 4ae2

aa

(2) 设|sinx| t(0≤t≤1)，则只需求当a 0时，函数y f(t)(0≤t≤1)的最小

值.

22

或x 2，而a 0，即 2. aa

22

从而函数f(x)在( , 2)和(, )上单调递增，在( 2,)上单调递减.

aa

2

当≥1时，即0 a≤2时，函数f(x)在[0,1]上为减函数，ymin f(1) (a 4)e； a

2

当0 1，即 a 2时，函数f(x)的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，

a

2

2

ymin f() 2ea.

a

综上可知，当0 a≤2时，函数f(|sinx|)的最小值为(a 4)e；当a 2时，函

令f (x) 0，解得x 数f(|sinx|)的最小值为 2e.

x

2

2a

(8分)

ex(x2 2x 2)

(3) 令e(x 2x 2) kx，显然x 0，则k .

x

ex(x2 2x 2)ex

构造函数g(x

) ，

g (x) 2(xx 1)(x .

令g (x) 0得x1 x2

1，x3 g(x)在( ,上单调递减，且g(

x)

0，当x无限减小时，g(x)保持恒负并无限接近于0，其图像在下方

无限靠近x轴负半轴；g(x)在(上单调递增，当x无限接近于0时，g(x)无限增大，其图像在左侧向上无限接近y轴正半轴，由于极小值g( 2e 0，