2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物(10)

可化为x 2－5x ＋4＝0，

解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.

所以A (1，－22)，B (4，42).

则＝＋λ＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ).

因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，

整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.

18.（12分）设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24

上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.

【解析】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224

，x 1＋x 2＝4. 于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24

＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2

. 设M (x 3，y 3)，由题设知x 32

＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1). 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，

故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.

将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24

得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.

从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.

由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，

解得m ＝7.

所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.

19．（12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．

【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，