2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物(13)

22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32

. (1)求抛物线C 的方程；

(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.

【解析】 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32

，所以p ＝2， 所以C 的方程为x 2＝4y .

(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，

所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，

因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，

所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1， S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2

＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，

设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.