2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物(7)

∴∠AFB

的最大值为2π3. 11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】B 【解析】如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，即M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p

22＋p 2，解得p ＝2.故选B. 12.过点P (2，－1)作抛物线x 2

＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )

A.32

B.33

C.12

D.34 【答案】 C

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2

＝2（－1＋y 2）， 所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，

则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212

×1×|x 1－x 2|＝12. 二、填空题（每小题5分，共20分）

13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.

【答案】 2 6