2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物(12)

21.（12分）已知抛物线C ：x 2

＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .

(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；

(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.

【解析】(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将AB 的方程代入抛物线C ，得 x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，

则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①

又x 2＝2py 得y ′＝x p ，

则A ，B 处的切线斜率乘积为

x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.

(2)设切线AN 为y ＝x 1p

x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 2

2p

上， ∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 2

12p

， 切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 2

12p

， 同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 2

22p

. 又∵N 在y AN 和y BN 上，

∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p

，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).

|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，

点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k

2， S △ABN ＝12

·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，

∴22p ＝4，∴p ＝2，

故抛物线C 的方程为x 2＝4y .