东北三省三校2014届高三第一次联合模拟考试数学(8)

21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f (x)

x

……………………….2分 ex

∴当x 0时，f (x) 0，当x 0时，f (x) 0。

∴f(x)在( ,0)上单调递增，在(0, )上单调递减。……………………….4分

（Ⅱ）假设存在x1,x2 [0,1]，使得2 (x1) (x2)成立，则2[ (x)]min [ (x)]max。 ∵ (x) xf(x) tf (x) e

x

x2 (1 t)x 1

ex

x2 (1 t)x t(x t)(x 1)

∴ (x) ………………………6分

exex

① 当t 1时， (x) 0， (x)在[0,1]上单调递减，∴2 (1) (0)，即

t 3

e

1。 2

……………………….8分

②当t 0时， (x) 0， (x)在[0,1]上单调递增，∴2 (0) (1)，即

t 3 2e 0。

……………………….10

分

③当0 t 1时，

在x 0,t ， (x) 0， (x)在[0,t]上单调递减 在x t,1 ， (x) 0， (x)在[t,1]上单调递增 所以2 (t) max{ (0), (1)}，即2由（Ⅰ）知，g(t) 2

t 13 t

max{1,——(*) ete

t 1

在[0,1]上单调递减 te

4t 123 t3故 2t 2，而 ，所以不等式(*)无解 eeeee

e

综上所述，存在t ( ,3 2e) (3 , ),使得命题成立. ………………………12

2

分

22．证明：

（Ⅰ）连结AB.因为△PBC∽△PDB，所以同理

BDPD

.

BCPB

BDADBDBC

又因为PA PB，所以，即. ……5分

BCACADAC

ADPD

.

ACPA