2008-2009学年第1学期线性代数B1期终考试试卷(6)

1

所以此方程的通解为x c1

1 1

2,(c R)……12分 0

20、求一个正交变换x Py，把二次型

f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化为标准形。 （12分）

解：

222

2

（1）二次型的矩阵 A 2

2

（2）方阵A的特征多项式为：

25 4

2

4； ……… 2分

5

2

p( ) |A E|

2 2

25 4

2 45

( 1)( 10)

2

令 p( ) 0，解得特征值为 1 10, 2 3 1. …………………5分 将 1 10, 2 3 1.分别代入方程组 (A E)x 0,可得特征向量分别为

1 2 2

1 2, 2 1, 3 0，………………………………7分

2 0 1

对它们进行schimidt正交化再单位化后得到

2

1 2 5 q1 2,q2 1,q3 4

5 2 0 1

1

3

2

e1 ,e2 ,e 3 3

0 5 2

3 所求正交矩阵Q (e1,e2,e3)， ………9分 且满足QAQ diag(10,1,1) ………10分

（3）该二次型在正交变换X QY下的标准型为：

T