2008-2009学年第1学期线性代数B1期终考试试卷(7)

f(y1,y2,y3) 10y1 y2 y3 ……………12分

五、证明题：（7分）

21、设有向量组 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，试证向量组 1, 2, , m线性无关。其中：

2

n

222

a1,a2, ,am为m个互不相等且不为零的常数。

证明：由题设可知

1 (a1,a12, ,a1n)

2n 2 (a2,a2, ,a2) ………………………1分

(a,a2, ,an)

mmm m

去掉每一个向量的后面(n m)个分量得：

1 (a1,a12, ,a1m)

2m 2 (a2,a2, ,a2)

……………………2分

(a,a2, ,am)

mmm m

设有数x1,x2, ,xm，使得

x1 1 x2 2 ... xm m 0……………………3分

a1x1 a2x2 ... amxm 0

222

a1x1 a2x2 ... amxm 0即 ……………………4分

..........................

amx amx ... amx 0

22mm 11

a1

其系数行列式为

a2a2a2

2

............

amamam

2

a1a1

2

...

m

...

m

...

2

a1a2...am

1 j i m

(ai aj) 0………………5分

故 1, 2,..., m线性无关，………………………6分 从而 1, 2, , m线性无关。……………………7分