2012年天津理科数学高考试题(理科数学理科数学高(6)

（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加

趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1

或2的人去

参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：

（Ⅲ）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 =|X Y|，求随机变量 的分布列与

数学期望E .

【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】

（1）每个人参加甲游戏的概率为p

13

，参加乙游戏的概率为1 p

827

23

这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为C42p2(1 p)2 （2）X B(4,p) P(X k) C4kpk(1 p)4 k(k 0,1,2,3,4)，

这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为P(X 3) P(X 4)

（3） 可取0,2,4

P( 0) PX(

8

227

40811781

19

P( 2) P(X 1) P(X 3)

P( 4) P(X 0) P(X 4)

随机变量 的分布列为

8

E 040 2 4278117148

8181

【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对

于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD中，PA丄平面ABCD

， P

AC

丄AD，AB丄BC， BAC 45 ，PA=AD=2，AC=1.

(Ⅰ)证明：PC丄AD；

（Ⅱ）求二面角A PC D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为300， 求AE的长.

【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】

（1）以AD,AC,AP

C

D

为x,y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz

11

22 2A)D, (2, 0,P0 C)AD

则D(2,0,0),C(0,1,0),B( ,,0),P(0,0,2)（lby lfx）

PC (0,1 ,

0PC

AD

（2）PC (0,1, 2),CD (2, 1,0)，设平面PCD

的法向量n (x,y,z)

y 2z 0 y 2z n PC 0

则

2x y 0 x z n CD 0

PACAD (2,0,是平面0

取z 1 n (1,2,1)

的法向量

s iADnn ,

6

AD ncos ADn,

6ADn

得：二面角A PC D（3）设

AE h [0,2]；则AE (0,0,2)

6

BE CDcos BE,CD BC 11

，BE (, ,h),CD (2, 1,0)

22

2

即AE 1010

【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊

的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，