2012年天津理科数学高考试题(理科数学理科数学高(8)

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为

12

，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k

满足|k【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】

（1）取P(0,b)，A( a,0),B(a,0)；则kAP kBP

e

2

ba

(

ba

)

12

a 2b

22

a ba

2

22

12

e

2

a

b

（2）设P(acos ,bsin )(0 2 )；则线段OP的中点Q(cos ,sin )

2

2

|AP|=O|A|AQ OP kAQ k 1

kAQ

bsin 2a aco s

bsin akA

Q

c o s

a2k A

Q

2akA

Q

Qk3

（20）（本小题满分14分）已知函数f(x) x ln(x a)的最小值为0，其中a>0. （Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x [0,+ ),有f(x) kx2成立，求实数k的最小值；

n

（Ⅲ）证明：

i=1

22i 1

ln(2n+1)<2(n N)

*

.

【参考答案】（1）函数f(x)的定义域为( a, )

f (x) 1 f(x) x ln(x a

1x a

x a 1x a

0 x 1 a a

f (x) 0 x 1 a,f (x) 0 a x 1 a 得：x 1 a时，f(x)min f(1 a) 1 a 0 a 1 （2）设g(x) kx2 f(x) kx2 x ln(x 1)(x 0)

则g(x) 0在x [0,+ )上恒成立 g(x)min 0 g(0)（*） g(1) k 1 ln 2

0k