具适应性的人口疏散模型的整体解(9)

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为了叙述和证明的方便起见,本节对模型研究过程中所用到的一些基本定理及空间先作些说明（参考文献[1]，[2]）.

2.1 极值原理

设(,)u x t 在区域{},0T R x t T αβ≤≤≤≤上连续，并且在区域内部满足热传导方程，则它在区域的两个侧边(x α=及x β=,0t T ≤≤)及底边(0,t x αβ=≤≤)上取到其最大值和最小值.

换言之，如果以T Γ表示T R 的两侧边及底边所组成的边界曲线（通称为抛物边界），那么成立着：

max (,)max (,)T T R u x t u x t Γ=，min (,)min (,)T T

R u x t u x t Γ=. 注：上述对热传导方程的极值原理，可推广到如下一般的抛物型方程： 2(,)(,)0t u a u b x t u c x t u -∆+∇+=，

其中0c ≥.

2.2 比较原理

对一般方程来说，设u 和v 都是区域Ω内的函数，且在ΩΓ上连续.如果在Ω的边界Γ上成立着不等式u v ≤，那么在Ω内上述不等式也成立；并且只有在u v ≡时，在Ω内才会有等号成立的可能.

2.3 Holder 空间

设Ω是n R 的有界区域,对于非负整数k ,()k C Ω表示所有在Ω上k 次连续可微的函数组成的空间,在其上赋予范数：

[];;0k

k j j u u ΩΩ==∑, 其中