高三数学圆锥曲线创新题(3)

3 / 9 这是蒲荣飞提到的一个数学问题，其实并不难解决。笔者否定了这个结论。得到的结果是： 抛物线).1(022.22,)0(2211212211

22=≠+=+=>=e k k k k k k k k p px y 即显然中

然而，这个结果的关系式太好，这样，一个数学问题随之产生：

题1 已知抛物线y 2=2px (p>0) 的焦点弦AB 的斜率为a ，AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 。

⑴ 把k 表示为a 的函数。⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠+=0,122a a a k ⑵ 求k 的取值X 围。⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋃-∈]22,0()0,22[k 你看，多好的一道难度适中、题味隽永的题！

题2 B 是已知椭圆14

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2=+y x 的上顶点，过A （0，－1/3）的直线交椭圆于P 、Q ，试判断ΔBPQ 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形且证明之。

本题的编拟是基于以下的结果：

结论1 在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中，长轴上的顶点A 为直角顶点的内接三角形APQ 中，弦PQ 过定点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±0,)(2222b a b a a ；短轴上顶点B 为直角顶点的内接三角形BPQ 中，弦PQ 过定点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±2222)(,0b a b a b 。所取符号由图形很易确定。

由结论1，A （0，-2/9）时，ΔBPQ 恰为直角三角形；A 继续上移，则ΔBPQ 就是钝角三角形了。需要说明的是，对于ΔBPQ ，只有∠B 可能为非锐角。

另外，在双曲线中，也有类似结论：

结论2 在双曲线),0,0(122

22b a b a b

y a x ≠>>=-中， 自实轴的一个端点A ，作互相垂直的两直线交双曲线于P 、Q ，

则PQ 所在直线过定点M ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+±0,)(2222b a b a a 。

端点与定点相应值的符号相同。[2]、[3]

这种以圆锥曲线顶点为直角顶点的对应直角三角形过定点，对于抛物线而言，结果就更为我们所熟知了：

结论3 过抛物线y 2=2px (p>0)的顶点O 作互相垂直的弦OP 、OQ ，则弦PQ 过定点M(2p,0)。 当然，借题以拟题必须要有一定的解题意味，从一个题改变一两个数据形成另一个题并无趣味。但从重要的特点和结论出发，把需要考查的知识串联其中，情况就大不相同。如题2，对ΔBPQ 的形状判断，可由BQ BP ⋅与0的比较解决之。化一般字母结论为特殊数据推算，正符合考查的要求。

⒉⒉2 贯彻以“目标”

有时我们确定一个问题的考查方向，又希望结合相应的知识点给出考题，这时只要问题背景设置得当，深入而细致的思考设计，由量变积累到质变飞跃，好题目可以逐步成形完善。比如笔者希望编拟一道圆锥曲线里的数列题，殚精竭虑，思之再三，终于拟成一题：

题3 如图3，P 1，P 2，，P 3…是抛物线y=x 2上x=1,2,3,…上的点，求