高三数学圆锥曲线创新题(6)

6 / 9 题

7 如图6-2，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 、Q 是椭圆上直线F 1F 2上方的任意两点，连F 2P 并延长至A ，使PA=PF 1；连F 1Q 并延长至B ，使QB=QF 2。M 是AF 1中点，N 是F 2B 中点。直线ι1过M 、P ，直线ι2过N 、Q ，ι1∩ι2=C 。

证明 C 到AF 2的距离等于C 到F 1B 的距离。

经这样一改，虽然MP 、NQ 仍是椭圆的切线，却不涉及切线概念；而对称条件却使垂直平分线的概念强化，比原题更容易引发ι1、ι2上的点到A 、F 1的距离及F 2、B 的距离分别相等；又结果按点到直线的距离给出，更切合解析几何的知识点。而饶有余味的竟是，证明C 到AF 2及F 1B 的距离相等应转化为证明全等三角形CAF 2与CF 1B 的两条高相等。虽然证明的过程大致相仿，但|AF 2|=|F 1B|=2a 的定义应用之关键比原题容易想到，因此也比原题便于证明。这就使问题的改编圆满成功。

例2 AB 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦，M 是准线与x 轴的交点。如图7，AP 平行于准线，如果MB ⊥AB ，证明|AP|=BP|。

如例1一样，证明的要求太平面几何化。引发的思考不妨取AB 中点N ，证明MB ∥NP （即着眼于等腰ΔPAB 的中线、AB 上的高线、∠APB 的平分线NP 的三线合一）。

但事实上，延长AP

交抛物线于Q ，Q

与A 关于抛物线为轴对称。既然

|PA|=|PB|=|PQ|，不如说明ΔABQ 为直角三角形。由此原题改编为

题8 AB 是抛物线y 2=2px 的焦点弦，M 是准线与x 轴的交点，A 关于x 轴的对称点是Q ，如图7，如果MB ⊥BA ，求证M 、B 、Q 在一条直线上。

这样改动，解析几何、垂直关系、三点共线，题目的意蕴浓多了，证明方法的选择也更自由了。特别是向量法，与教学热点贴得更紧。

⒉⒉5 挖潜以推广

解析几何中的椭圆与双曲线呈对偶关系，圆锥曲线又把有心曲线椭圆与双曲线及无心曲线抛物线囊括为整体的知识域。因此，椭圆的命题也许双曲线中有对偶关系；能够在圆锥曲线之其一成立的命题，在其他曲线中也能成立吗？事实表明，圆锥曲线中的命题或性质、相关结论等等，思索研究的潜力或余地大得很。前面提到的抛物线、椭圆、双曲线的顶点弦OP 、OQ ，OP ⊥OQ ，PQ 总过定点，就是一例。简单来说，题7，题8都有挖潜结果或对偶结论：

题9 如图8，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q ，P 是双曲线上的点，且P ∈F 1Q ，延长PF 1至A ，使PA=PF 2；延长QF 2至B ，使QF 1=QB 。 取AF 2中点M ，过M 、P 作直线ι1；取F 1B 中点N ，过N 、Q 作直线ι2。ι1∩ι2=C 。

证明 C 到AQ 的距离与C 到QB 的距离相等。（先证ΔCF 1A ≌ΔCBF 2）