高三数学圆锥曲线创新题(7)

7 / 9 题10 AB 是圆锥曲线的焦点弦（如图

7，图9-1，图9-2），M 是准线与x 轴的交点，弦AQ 平行于准线，如果BM ⊥BA ，证明M 、B 、Q 在一条直线上。

有趣的是，本人发现且证明题10之后不久，就看到有关杂志上更理想的结果。[4]

其实在题10中，即便去掉BM ⊥BA 的条件，三点共线的结论依然成立。

⒉⒉6 拓展于结论

同其他知识域一样，解析几何知识域，由于数形结合最紧密，因此，图形、线条之间的特征与数据结构往往更丰富。如上所述自编、改变数学题的过程，其中就蕴含着很多的特征规律与数据结构。我校本年级组内某曾提议解决抛物线的找出焦点尺规作图问题。本人进一步探索，且一举解决所有圆锥曲线用尺规作出焦点的问题。解决过程就用到相关解析几何题的特征规律与数据结构。这就是

题11 用直尺、圆规作出仅有圆锥曲线图形（其中抛物线给定顶点）的曲线焦点。

解：作法如下：

（1）对于抛物线，

①以O 为圆心，任意长为半径作弧，交抛物线于A 、B ，连AB(中点为M)；

②作AB 的垂直平分线，此即X 轴；过O 作Y 轴（即以O 为圆心，作任意长为半径形成线段的垂直平分线）；

③作任意弦OP 、OQ ，使OP ⊥OQ ；

④连PQ 交O X 轴于N ，由熟知的结论，N 为定点，|ON|=2P ；

⑤在X 轴上取ON 的1/4点，如图10-1，即F ，|OF|=P /2。

（2）对于椭圆，

①先作两平行弦，及两平行弦的中点连线，如法炮制平行弦的中点连线；两中点连线交于O ，此即椭圆中心；

②以O 为圆心，任意长为半径作弧，再作弦PQ ，作PQ 的垂直平分线X 轴；

③过O 作Y 轴；

④对X 轴、Y 轴上的顶点A 、B ，显然|OA|=a ，|OB|=b ，以B 为圆心，OA 长为半径作弧交X 轴于F ，如图10-2，.22c BO BF OF =-=

（3）对于双曲线，

①作法同于（2），作得O 点，X 轴、Y 轴；顶点A ；

②以O 为圆心，OA 为半径作圆；

③作任意半径OQ 并延长至任意双曲线形内M 点；以M 为圆心，MQ 为半径作圆与圆O 相切，交X 轴于F ，F 即焦点。

如图10-3，设P 为圆M 与双曲线的交点，则|PF ′|—|PF|=2a ，即|MO|—|MF|=a ，即|OM|=|MQ|+a ，为两半径之和。