高三数学圆锥曲线创新题(4)

4 / 9 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-3)12(2.22

123222121n n P P P P P P OP S n n ⒉⒉3 反用以陈题

有的陈题具有一定的典型特征，加强认知可以巩固知识，

亦同时强化解题能力。本着强主枝、去次蔓的解题精神，

对这样的题改造变衍以形成新题是一种对路的思索。

请看

题4 如图4，已知抛物线Y 2=2PX (P >0 )上任意一点A(X 0,Y 0)，

A 关于轴的对称点为

B ，B 向右平移2P 个单位至M ，

又过A 作抛物线的弦AP 、AQ 且AP ⊥AQ ，试问P 、M 、Q 三点是否在一条直线上？（在一条直线上）

其原题是，前面我们曾说到结论3，抛物线上的弦OP ⊥OQ 时，PQ 过定点M (2p,0)。其实直角顶点不一定是抛物线的顶点，当它任意时，如为A (x 0,y 0)，则PQ 过定点M(x 0+2p ，-y 0)。此即题4的相反结论。

但有意义的是，证明PQ 过定点M ，不如证明已知M 时，P 、M 、Q 在一条直线上更有做头。不妨按MQ NP λ=证明之，更符合解析几何结合向量知识的解题意蕴。只是抛物线设做参数形式：

,222

⎩⎨⎧==pt

y pt x 更方便于解决。 提到结论3，笔者也有题在编：

题5 在射线OQ 上取长度为2p 的线段OP ，一动点M 满足

.4

0),2tan 21arctan(,πθθθ<<=∠=∠MPQ MOP ⑴建立适当的平面坐标系，求动点M 的轨迹方程，并说明曲线名称。

⑵延长MP 到N ，使ON ⊥OM ，证明点N 也在以（1）取消X 围限制后点M 的轨迹上。

其中（1）的解就是抛物线段y 2=2px 。(y>2p)

可见陈题反用是一个很好的拟题途径。只是反用时要经过匠心设计，周三打磨，应使因之拟出的题看不出，或想不到与原题有什么因果联系。只有这样，才能使编拟的题上质量上档次。再看一例：

题6 已知P （p ，0）是平面直角坐标系x 轴上的一点（p>0），M 、N 两点在y 轴上，且|MN|=2p 。过M 、N 、P 三点作一个圆。

⑴ 求圆心C 的轨迹方程。（y 2=2px ，抛物线）

⑵ 设OP 的垂直平分线交曲线C 于A 、B 两点，求曲线C 关于以AB 为对称轴的曲线C ′的方程。（y 2=-2p(x-p)）

⑶对两条曲线以AB 为准，AB 的左边取曲线C 的部分曲线段；AB 的右边取曲线C ′的部分曲线段，包括AB 形成一个图形。让这个图形以AB 的中垂线为轴，即绕着AB 的中点旋转一周形成一个几何体。以此几何体模拟为某植物的种子，且使AB 成水平线放置（形如上下凸起的围棋子）。如果AB=2cm ，且这样的种子上下、前后、左右整齐堆放于一内壁为10×10×4的盒子内，搭载于神舟*号宇宙飞船进行科学实验，