《概率论与随机过程》第1章习题答案(10)

shu 《概率论与随机过程》第1章习题答案

解：

E(X)

x

22

exp(

x

22

2

)dx 2

1

t2e

t

dt

2 (1 1) 2

2

2

/2

，

（

D(X) E(X

(n 1) 2

2

(2n 1)!!2

2

n

）

32

) E(X)

x

exp(

x2

22

)dx

2

2

2

2

texp( t)dt 2

2

2

2

4 2

2

。

#

35. 设随机变量X的概率密度函数为P X k pqk 1，k 1,2, 。其中0

则称 X服从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。

p 1,q 1 p

为常数，

解：E(X)

kpq

k 1

k 1

p

k 1

1k

q p 1 q

1 p 1 q 2

1

p

2

，

k 1

D(X) E(X

2

) E(X) E[X(X 1)] E(X) E(X)

2

k(k 1)pq

k 1

1p

1p

2

=

pq

k 1

1qk

q pq 1 q2 p

q2 pq 2 1 q 3

p

qq

2 p2

p

。 #

36. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.

Cov(X,Y)。

f(x,y)

18

(x y),0 x 2,0 y 2

。求E(X)、E(Y)、

解： E(X)

xf(x,y)dxdy

18

[

02

2

22

(x

2

xy)dy]dx

18

20

2

(xy

2

xy2

2

2

2

)dx

02

14

20

2

(x

2

x)dy

76

，

E(Y)

yf(x,y)dxdy

18

[

(y

2

xy)dx]dy

18

(yx

2

xy2

3

)dy

02

2

14

2

(y

2

y)dy

2

76

，

43

E(XY)

xyf(x,y)dxdy

18

[

22

(xy xy)dx]dy 76

136

22

18

2

(

xy3

xy2

)dy

2

(

y3

y

4

)dy

，

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)

43

76

。#

37. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，

且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？

解： 设X为取整误差，则E(X) 0,D(X) σ2 1/12。

（1）

P

1500k 1

X

k

1

15 P

/

1500k 1

1500k 1

X

k

15/ 1.34

1 P

1

Xk 1.34

X

k

1

1 [P

1

e

1500k 1

2

1 1.34 P

dt

1500k 1

X

k

1.34 ]

1.34

12

t/2

dt

1.34

12

e

t/2

2