《概率论与随机过程》第1章习题答案(7)

shu 《概率论与随机过程》第1章习题答案

1

(

56

x

3

43

x

2

12

x)dx

524

x

4

49

x

3

14

1

x

20

6572

。 #

23. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中

没有一只寿命小于180 小时的概率。

解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，

2

F12

Xk

(180)

180

exp(

(x 160)dx令y (x 160)20

1exp(

y

202

2 20

2

)

1

2

2

)dy 0.8413

令N4 min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，

P{N4

4 180} 1 P{N4 180} 1 Fmin(180) 1 1 1 FXk

(180)

1 F

Xk

(180)

4

(0.1597)

4

。24. 设随机变量X的概率密度为

求E(X),E(X2),E(3X2 5)。

解：E(X) 2 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2，

E(X

2

) ( 2)2 0.4 02 0.3 22

0.3 2.8，

E(3X2

5) 3E(X

2

) 5 3 2.8 5 13.4

。 #

25. 设X服从二项分布，其概率密度为

P X k n k kn k

p(1 p),k 0,1,2, ,n.0 p 1. 求E(X)和D(X)。

n

n

解：E(X)

kP{X k}

k n

k 0

k kn k

p(1 p)

k 0

n

k

n(n 1)(n 2) [n (k 1)]

pk

(1 p)

n k

k 0

k

!

n

np

(n 1)(n 2) [(n 1) (k 2)]

pk 1

(1 p)

(n 1) (k 1)

k 0

(k 1)!

np(p 1 p)

n 1

np

E(X

2

) E[X(X 1) X] E[X(X 1)] E(X)n

k(k 1) n kn k

k 0

k p(1 p) np

n n(n 1)p

2

(n 2)(n 3) [(n 2) (k 3)]

2) (k 2)

np

k 0

(k 2)!

p

k 2

(1 p)

(n

n(n 1)p2

(p 1 p)

n 2

np n(n 1)p

2 npD(X) E(X

2

) E(X) 2

n(n 1)p

2

np n2

p

2

np(1 p)

。 #

26. 设X服从泊松分布，其分布律为

##