《概率论与随机过程》第1章习题答案(8)

shu 《概率论与随机过程》第1章习题答案

k

P X k

e

k!

,k 0,1,2, ,

0. 求E(X)和D(X)。

k解：

E(X)

k

e

e

k 1

e

e

，

k 0

k!

k 1

(k 1)! E(X2

) E[X(X 1) X] E[X(X 1)] E(X)

k 2

k(k 1)

ke

2

k 0

k!

2e

k 2

(k 2)!

D(X) E(X2

) E(X) 2

2

2

。 #

27. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为

f(x) 1 b a

,

a x b, 求E(X)和D(X)。

0，其它，

解：

E(X)

b

x

1b，

a

b a

dx

a 2

E(X

2

) E(X) 2

b

D(X)

x

2

1

a 2

2

a

b adx b

b a 2

12

。 #

28. 设X服从正态分布，其概率密度函数为

f(x)

1 x- 2

exp

0, x

。 求E(X)和D(X)。

2

2 2 ，

解：

E(X)

x

1

x- 2exp

， 令

x

，则

2 dx 2 2

t

E(X)

1( t )exp t2

1

t )exp 2

dx

2

t2(

2

2 dt

exp t

2

/22

2

dt

2

其中，2

f(t) texp( t/2)为奇函数，故

texp( t2

/2)dt 0

；

而

exp

t

2

/2

1

1

dt 2

exp

t

2

/2

dt

y t2

/22

y

2

exp y dy

2Γ(

1

0

2

) 2

( )

x

1

exp x dx,

(1

。

2

)

D(X)

1

(x )2

exp

x- 2

（令

x

2

dx

2 2

t

）

2

2

2

2

exp t

/2

dt

t2/2

exp t

2

/2dt 2

2

。 #

2

t

2 te

2

2

29. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：

（1） D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)；

（2） Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)。