2002年考研数学一真题(10)

g2(x,y) (y 2x)2 (x 2y)2 5x2 5y2 8xy

在条件x

2

y2 xy 75 0下的最大值点.

这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数

L(x,y, ) 5x2 5y2 8xy (x2 y2 xy 75),

L

x 10x 8y (2x y) 0, L

10y 8x (2y x) 0, y L22

x y xy 75 0.

y)( 2) 0. x y或 2.

则有

得x

解此方程组:将①式与②式相加得(x 若

2

y x,则由③式得3x2 75即x 5,y m5.若 2,由①或②均得y x,代入③式

75即x y 于是得可能的条件极值点

M1(5, 5),M2( 5,5),M3M4(

现比较

f(x,y) g2(x,y) 5x2 5y2 8xy在这些点的函数值: f(M1) f(M2) 450,f(M3) f(M4) 150.

因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在

M1,M2,M3,M4中取到.因此g2(x,y)在

M1,M2取到在D的边界上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点.

九、【解】

由 2, 3, 4线性无关及 1

2 2 3知,向量组的秩r( 1, 2, 3, 4) 3,即矩阵

A的秩为3.因此Ax 0的基础解系中只包含一个向量.那么由

1

2

( 1, 2, 3, 4) 1 2 2 3 0

1 0