2002年考研数学一真题(3)

四、(本题满分7分) 已知两曲线y f(x)与y

arctanx0

2

e tdt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限

2limnf(). n n

五、(本题满分7分) 计算二重积分

六、(本题满分8分)

设函数f(x)在( , )内具有一阶连续导数,L是上半平面(其起点为(a,b),终点为(c,d).记

max{x

e D

2

,y2}

dxdy,其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 1}.

y＞0)内的有向分段光滑曲线,

I

1x

y2f(xy)]dx 2[y2f(xy) 1]dy, Lyy

(1)证明曲线积分I与路径L无关; (2)当ab cd时,求I的值.

七、(本题满分7分) (1)验证函数

x36393xn3y(x) 1 L L( x )

3!6!9!(3n)!

满足微分方程

y y y ex;

x3n

(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.

n 0(3n)!

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D {(x,y)|x

2

y2 xy 75},小山的高度函数为h(x,y) 75 x2 y2 xy.

(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?